摘要 有一类数学问题中隐含着单( 双) 循环模型，灵活运用循环模型，能够顺利解决此类数学应用题. 模型 在体育比赛中有 n 支球队，若采用单循环赛制( 每两队之间都要比赛一场，而且只比
有一类数学问题中隐含着“单( 双) 循环”模型，灵活运用循环模型，能够顺利解决此类数学应用题.
模型 在体育比赛中有 n 支球队，若采用单循环赛制( 每两队之间都要比赛一场，而且只比赛一场) ，则完成比赛后，所有的球队共进行了 1 2 n( n - 1) 次比赛; 若采用双循环赛制( 每两队之间都要比赛两场) ，则共进行了 n( n - 1) 次比赛.下面谈谈如何利用比赛中的这两种模型解决相关的数学应用题.
一、“单循环”型问题
( 人教版课本) 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排 15 场比赛，应邀请多少个队参加比赛? 解析 单循环比赛形式其特点是，每两队之间都要比赛一场，而且只比赛一场.设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他( x - 1) 个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 1 2 x( x - 1) 场. ( 注意: 学生容易误认为共进行 x( x - 1) 场，这样就把每一场比赛都重复计算了一次. ) 因此，可列方程: 1 2 x( x - 1) = 15，解之，得 x1 = 6，x2 = - 5( 舍去) .
模型一的应用
习题 1 参加一次聚会的每两个人都握手一次，所有人共握手 10 次，有多少人参加聚会? 简析 设有 x 人参加聚会，类似“单循环”赛一样，所有人共握手 1 2 x( x - 1) . 于是可得方程: 1 2 x( x - 1) = 10，解之得共有 5 人参加聚会.习题 2 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了 45 份合同，共有多少家公司参加商品交易会? 简析 设共有 x 家公司参加商品交易会. 类似“单循环”赛一样，所有公司共签订 1 2 x( x - 1) 份合同. 于是可得方程: 1 2 x( x - 1) = 45，解之得共有 10 家公司参加商品交易会.
二、双循环”型问题
参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛? 解析 参加联赛的每两队之间都进行两场比赛，明显具备了双循环比赛形式的特点.设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他( x - 1) 个队各赛一场，所以全部比赛共 x( x - 1) 场. 因此，可列方程: x( x - 1) = 90，解之，得 x1 = 10，x2 = - 9( 舍去) .
模型二的应用习题 生物兴趣小组的同学将自己制作的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠了 182 件，则该兴趣小组共有多少名同学? 分析 在该兴趣小组中，每人都要送比全组人数少一个的标本，类似“双循环”型问题. 设全组同学个数，用标本的总数列方程.解 设该兴趣小组共有 x 名同学，根据题意，得 x( x - 1) = 182.解得 x1 = 14，x2 = - 13( 舍去) .答: 设该兴趣小组共有 14 名同学.
拓展 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0 分; 如果平局，两个选手各记 1 分. 安排四个同学统计了其中全部选 手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985. 经核实，有一位同学统计无误. 试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解析 设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与( n - 1) 个选手比赛一局，共计 n( n - 1) 局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 1 2 n( n - 1) 局. 由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n( n - 1) 分.
显然( n - 1) 与 n 为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故 总 分 不 可 能 是 1979，1984，1985. 因此，总分只能是 1980. 于是得: n( n - 1) = 1980，即 n2 - n - 1980 = 0.解得 n1 = 45，n2 = - 44( 舍去) .答: 参加比赛的选手共有 45 人.
实际应用问题是初中数学中重要的内容之一. 在中考数学中，关于单双循环模型问题经常出现，因此，掌握循环模型有助于帮助我们提高解决问题的能力.
相关推荐：数学理论偏重的学术论文投稿
转载请注明来自：http://www.lunwenhr.com/hrlwfw/hrjylw/12020.html