摘要 摘 要: 从数的萌芽到数的产生的发展过程，给出了自然数和零的概念，指出现行教材中自然数定义的不妥，给予修正。 关键词: 自然数;零;等价;标准集合 数学是研究客观世界数量关系和
摘 要: 从数的萌芽到数的产生的发展过程，给出了自然数和零的概念，指出现行教材中自然数定义的不妥，给予修正。
关键词: 自然数;零;等价;标准集合
数学是研究客观世界数量关系和空间形式的学科，具有应用的广泛性、逻辑思维的严谨性、抽象性的特点[1-5] 。数学是生活、学习和工作中不可缺少的重要工具，是一门重要的基础科学，是通向科学大门的金钥匙。只有在成功地清晰准确的运用数学概念时，可以使你思考问题时更加合乎逻辑、更有条理、更严密精确、更深入简洁、更善于创新，才算达到了真正完善的地步。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，数学无处不在。其发展源远流长，人们对自然数的认识也是永无止境。
1 数的萌生
最初的人类是没有数的概念的，后来，人们在采集果实、狩猎或捕鱼的现实生活活动中，经常需要判断劳动工具以及获得的劳动成果够不够分配，人们当初还不会用具体的数来表示物体的多与少，却是用一一搭配的方式，即现在数学所描述的一一对应的方式方法进行来比较确定的。比如，狩猎或捕鱼时，把人与工具搭配起来，一人一件工具，依据搭配的情况看够不够分，就用工具与人配对的结果来判断工具是多了、或者是少了、或者是与猎人同样多。这样经过反反复复的社会生活实践，才渐渐地形成了朦胧的“多”与“少”的概念[2] ，以后随着生产的发展，人们需要对物品进行数量的比较，数的概念才开始萌发。数的初步概念早在有史以前就已经产生了，但是，它的发展经历了一个漫长的过程，进展是相当迟缓的，起初人类只是能把一个物体与多个物体区分开，慢慢地人类就可以能把一个物体、二个物体和多个物体区别开来，至于三个物体，人们已经认为是很多了。直到今天，我们还用“再三”来表示多次，目前世界上还有一些不发达地区的民族的语言，只有头几个自然数的名称，有的只有头两个数的名称，即一和二，把这两个数配合起来才组成三(二一一), 四(二一二), 五(二一二一), 六(二一二一二);大于六的数就说“很多”, 这也说明，经过很长一段时间, 人类才逐渐能区分开数量稍大一些的物体。
人类能区分开数量不大的物体，用的是最原始的计数形式，这时还没有把数同具体物体分离开来，只能用彼此等价的一个具体物体作为代表来指明这一类物体的个数。例如，用“月亮”、“太阳”或 “一个人的耳朵”或“一只手”这个等价的一类具体事物作为代表来表示一个，随着生产和经济活动的复杂化，人类开始利用手指来表示没有名称的数。但是，“屈指可数”的数目毕竟是极为有限的，当多到屈指难已数数的时候，人们就开始逐渐利用周围具体的事物作为数数的工具。例如，在树木、木棒上刻痕，在绳上打结，把石子放成一堆等。经过了很长的一段时期，人类才渐渐地把数与具体物体的集合分离开来，产生了数的名称。早期出现的数的名称往往就是帮助数数的那些物体的名称。如今我们保留着用一只手的各种指势表示一、二、三、四、五、六、七、八、九、十的痕迹。
2 数的形成
自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。在长期重复进行着分配比较的过程中，人们逐渐地认识到有很多种物体可以一一对应，哪是一样的多。比如，一个人的手和他的眼睛、脚、耳朵都是同样的多。进而把这些同样的多的物体归为一类，也就是现在所说的等价类集合，并开始从同一等价类集合中任意选取一个大家最熟悉、应用又比较方便、且不易变化(有固定的元素)的集合类作为代表，用来表示这等价类集合所具有的共同特征。例如，看到两只羊或两只鹿就用两只耳朵或两只眼睛来表示，看到五头牛或五匹马就用五个手指来表示，这种被选作代表的集合，我们现在叫做标准集合。开始时标准集合只是用作形象地表示数量多少的一种方法，还没有从具体物体集合中把数抽象出来。随着生产和交换的不断增多，以及语言的发展，人们在世世代代反反复复应用标准集合来表示多少的过程中，逐渐地把数从具体物体的集合中抽象出来，有些数的名称就采用了标准集合的名称。到现在，有的原始部落仍然保留这种痕迹，例如表示五个，就说“一只手”,表示十个就说“两只手”[7] 。以后，随着文字的出现与发展，渐渐地创造了符号来表示这些抽象出来的数，于是进一步产生了数字符号。几经演变才有了今天的数字符号，有了位值原则记数法，即现在的写法。例如用“1”、“2” 等符号来表示“一”、“二”等, 自然数也就产生了。
3 自然数的概念从数的萌芽与形成过程可知，便于数数或表示有多少的数是自然而然产生数的，故称为自然数。因此，自然数是一切等价的非空有限集合的标记，即自然数表示非空有限集合中的元的个数。自然数它具有有始、有序、无限的性质，最小的自然数为1。
4 零
自然数是从表示“有”多少的需求中逐渐产生的，在生产生活实践中，还常常会遇到没有物体的情况，为了表示“没有”, 就产生了一个新的数——零。
作为数字的零并用一个独立的数学符号来表示，是在自然数与分数(不带正、负号)产生之后才出现的。在较早的记数方法中，为了表示某一数位上数字或一个计数单位都没有，不是用零占位的，而是“空写”或“不写”，甚至用空格“□”来代替。在公元三与四世纪的印度人是在数字的中间加上一个小点来表示哪个空位的，后来把小点改成“0”，修改的时间很难确定，但在公元876年，在印度已有数字符号“0”的记载。通常认为这是世界上最早的，另有一种说法是古希腊在二世纪已使用 0 号，后来传入印度。我国古代是用算筹记数的，采取空位来表示零。现在我们翻印古代书籍时，对缺字常用“□”表示，在我国古代记数时数字里零的空位也是用“□”表示的，以后由于汉字书写时常用行书，方块也就很容易地划成圆圈“○”了，以○作零的符号，最早在《大明历》(1180年)中就有记载，到秦九韶的《数书九章》(1247年)就大量使用○号。
“零”作为一个单独的数，它不仅可以用来表示 “没有”，另外还可以作为某些数量或事物的界限。例如，在数轴上的零是正数与负数的界限;在摄氏温度计上零又是零上温度与零下温度的分界。温度是零度，并不是“没有”温度，而是在常温常压情况下，水结冰的温度。所以“零”是一个具有完全确定的意义的数。
5 现行教材中自然数的定义
5.1 序数理论
序数理论是在德国数学家戴德金工作的基础上由意大利数学家皮亚诺于1889年在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出来的。他总结了自然数的性质，并用公理体系给出了自然数的如下定义：定义：自然数集 N 是指满足以下条件的集合： ① N 中有一个元素，记作1。② N 中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤(归纳公理) N 的任一子集 M ，如果 1 ∈ M ，且只要 X 在 M 中就能推出 X 的后继者也在 M 中，那么 M = N 。依据皮亚诺理论规定：0是自然数;每一个自然数只有一个后续的自然数，自然数 n 的后面的一个自然数是 n + 1 ;最小的自然数是 0;没有最大的自然数。自然数为0，1，2，3，4，…。
5.2 我国现行教材中关于自然数的定义
自然数是我们在用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用来表示物体个数的数字0、1、2、 3、… 叫做自然数。如果一个物体也没有，就用0表示。0是自然数。自然数是由0开始(包括0)的，一个接一个，组成一个无穷的集体，自然数都是整数，这是与皮亚诺的自然数一致。
6 教材中自然数定义的商榷
“0”是否应该包括在自然数之内，在国内引起了较强烈争议与讨论。从教材的历史上看，建国以来，我国中小学的教材一直规定自然数不包括0。从1993年教育部颁布，并于1993年执行的《中华人民共和国国家标准》 (GB 3100-3102-93《) 量和单位》(11-2.9)第311页，规定了自然数是包括了零。所以在近几年的中小学数学教材进行修订中，教材研究编辑撰写人员依据上述国家标准之规定进行了修改撰写。即一个物体也没有，就用0表示，0也是自然数。
现阶段我国中小学修订的教材中是把0包括在自然数内，可能考虑的是与国际接轨，为了与皮亚诺的算术公理系统中自然数定义一致的原因。皮亚诺的算术公理系统开始时有九条公理，其中的四条是叙述关于“相等”的，另外的五条是用来刻画自然数的，而且是以1为基本概念的，并不是以0作为基本概念。皮亚诺只是在后来的著作中对这一算术体系作了修改，剔除了关于“相等”的四公理，进而以 0 替代了 1 作为基本概念，这样建构了沿用至今的皮亚诺公理体系。皮亚诺对自然数的修改可能是出自于他对公理体系的完善，使公理体系更加严密，让后人无懈可击、无可挑剔，即使序数理论里的每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者，才将公理中的1要换成0。任何事情都有一个开端，用0或用1 开始又何妨呢，可是自然数从0开始尽管完善了理论，但为后继的学习或工作带来了诸多的不便。
从数和零的形成来看，从单元素集合中取出一个元，那么它就成为空集。表示集合中没有元素，就用零作为空集标记，因此零是抽象出来的，不是数数的结果，也不是计量事物的件数或表示事物次序的数。数零尽管比自然数“一”少一个单位，可以把零放在自然数列的最前面，它比任何自然数都小，但零不应是自然数。自然数应为正整数，即从 1开始算起。这样才在数论中，与研究数的理论是相一致的。否则把非负整数认为是自然数，即从0 开始算起，与数论的理论相悖的。自然数和零统称为整数，整数是由自然数和零统组成的。因此，现行中小学教材把零作为自然数是极其不妥的，把 0 算在内的话充其量算是扩大的自然数。自然数从 1 开始，不仅符合数的形成与发展，而且也不违背皮亚诺的序数理论，同时对后续学习奠定基础，比如整标函数定义的描述，是定义域为自然数的函数，使得整标函数定义更加完美。为此，建议现行中小学教材中自然数的概念予以恢复到修订之前的定义上。
参考文献
[1]闵嗣鹤，严士健. 初等数论 [M]. 北京：高等教育出版社，1998.
[2]人民教育出版社中小学数学编辑室. 小学数学基础理论和教法 [M]. 北京：人民教育出版社，1994.
[3]倪海曙. 二十世纪数学史话 [M]. 上海：知识出版社，1984.
[4]中外数学简史编写组.中国数学简史 [M]. 济南：山东教育出版社, 1986.
[5][苏]鲍尔加尔斯基. 数学简史 [M]. 潘德松，沈金钊，译. 上海：知识出版社，1984.
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