多注 ＲＫＡ束流调制的理论与模拟比较分析

摘要 摘 要： 采用非线性理论探索了同轴多注相对论速调管放大器(CMRKA)的束波互作用特性，并 与 PIC结果进行了验证分析。首先推导了实心电子束的几何因子，然后分别给出了归一化调制电

　　摘 要： 采用非线性理论探索了同轴多注相对论速调管放大器(CMRKA)的束波互作用特性，并 与 PIC结果进行了验证分析。首先推导了实心电子束的几何因子，然后分别给出了归一化调制电流和电子束动能的积分微分方程，并给出了多注速调管放大器的同轴输入腔间隙耦合系数的公式。对于束压为600kV、束流为5kA 的16注电子束，当输入腔间隙电压分别为4.6，32.7，189kV 时，采用一维非线性理论和三维粒子模拟程序分别计算了基波电流调制系数和距离的关系，理论和模拟结果比较一致。当间隙电压为4.6kV 时，理论计算了多注电子数的个数分别为8，12，16 以及实心电子束的半径与单注电子束通道半径比6/15，8/15，10/15(通道半径不变)时基波电流调制系数随传输距离的变化。结 果 表 明，随着多注电子数的个数和电子束半径的增加，基波电流调制系数有逐渐变大的趋势。此外还计算了当间隙电压为20kV 时，归一化电流和归一化电子束动能随时间的变化和归一化常数 N(z)与调制电流的n次谐波的电流调制系数随传输距离的变化。

　　关键词： 自洽的非线性理论; 三维粒子模拟; 几何因子; 积分微分方程; 电流调制系数; 电子束动能

　　同轴多注相对论速调管放大器(CMRKA)是一种高功率微波放大器件，具有工作电压低、效率和增益高、频带宽、相位和幅度稳定、体积小和重量轻等技术特点[1-5]，在高频高功率运行及杂频振荡抑制等方面具有较好的发展前景。由于 CMRKA 为三维结构，准确的理论和粒子模拟分析对分析理论和计算设备、软件有较高的要求。在 CMRKA 的三维粒子模拟中，由于网格数多导致计算空间小和运行速度很慢。为了扩大计算空间的同时加快计算 速 度，需要一种快速的非线性理论计算方法用于指导 CMRKA 性能 分 析 和 设 计。1993 年，H.Uhm建立了一个通过相对论速调管放大器(RKA)传输电流和能量调制的自洽的非线性理论[6-7]。本文拟推广 Uhm 的 RKA 非线性束波互作用理论，通过引入并合理调整电子束的几何因子，不仅可以利用一维非线性理论计算实心电子束和空心电子束[8-9]，还可以计算同轴多注速调管。本文分析了多注电子束的几何因子，分析了 CMRKA 中强流多注电子束调制和群聚的非线性过程，最后采用三维的 PIC软件和本文建立的一维非线性理论对 CMRKA 束流调制进行对比分析，验证非线性理论的正确性。

　　1实心电子束几何因子

　　在高斯单位制下，圆柱坐标系中实心电子注在漂移管中的1维有源波动方程为[6]1rrrr ( Ez )+ 1 γ22z2Ez =4π 1 βcz( Jz )θ - ω β 2 γ2c2θ [ ( Jz )θ] (1)式中：Ez(r，z，θ)是电场的轴向分量;β=v/c，v是标为t0 的束团的瞬时速度，c是真空中的光速;Jz(r，z，θ)是轴向电流密度;γ是相对论因子;ω 是角频率;θ≡ωt0，为归一化时间，t0 是电子到达输入腔间隙的时刻。假定轴向电场的径向变化远大于轴向变化，可以近似认为方程(1)中2Ez/z2 =0。为了接下来分析方便，定义瞬时电流为

　　I(z，θ)=2π∫ Rc0rJz(r，z，θ)dr (2)

　　式中：Rc 是单注电子束通道半径。为了求出轴向电场，对方程(1)直接积分，引入k可以得到rdEz( dr )r=Rcr=0=4πr∫ Rc01 βcJz(z )θ - ω β 2 γ2c2Jz[ (θ )z]dr=2 1 βcI(z)θ - ω β 2 γ2c2I [ (θ)z]=k (3) 此外，如图1所示，实心电子束半径为a，在①区和②区中分别有r(dEz1/dr)= (r2/a2)k和r(dEz2/dr)=k，积分后可得Ez1 = ka2r22 +c1 (4)Ez2 =klnr+c2 (5)式中：c1 和c2 为任意常数。

　　根据边界条件Ez2 r=Rc =0，可以得出c2 =-klnRc。另外，在 ① 区和 ② 区分界面上有边界条件Ez1 r=a =Ez2 r=a ，可以得出k2 +c1 =klna+c2 (6)可以得出c1 =-k/2-kln(Rc/a)。由此可得轴向电场的平均值为E(z，θ)= Ez1 r=0 +Ez2 r=a2 =-2G(a) 1 βcI(z)θ - ω β 2 γ2c2I [ (θ)z] (7)其中G(a)为实心电子束几何因子G(a)=lnRca + 14 (8)

　　2 RKA束波互作用非线性理论

　　假定电子束在传输的过程中束流损失很小，得到了瞬时束流I(ζ，θ)的积分微分方程[6]N(ζ)F(ζ，θ)= 1+ ε γb(γ2b -1)ζddθ f(θ)+ S γb(γ2b -1)∫ ζ 0dζ′θ F(ζ′，θ)- 1 γ2 ∫b ζ 0dy∫ y0dx2θ ( 2F(x，θ)) (9)

　　式中：N(ζ)为归一化常数，ζ≡ωz/βbc，βb是进入间隙的电子束速度与光速c之比，z是离间隙出口的轴向距离; ε≡e(Δφ)/mc2 为归一化电势能，其中e是电子电荷，Δφ是输入腔的最大间隙电压，m 是电子的静止质量;f(θ)是当电子束离开输入腔时能量增益的时间函数;γb = (1-β 2b)-1/2;S =2νG(a)，为空间电 荷 参 量，其 中ν=eIb /mβbc3 ，是 Budker’s参数，Ib 是电子束通过输入腔之前的入射电流，G(a)为电子束的几何因子;ζ′为归一化纵向坐标变量;F(ζ，θ)为归一化的束流，可定义为F(ζ，θ)=I(ζ，θ)/Ib (10)

　　为了求解方程(9)，在假定间隙电压时间函数为f(θ)=sinθ的情形下发展了一种数值计算方法，这个假定对普通速调管来说是一个典型的近似。归一化常数 N(ζ)可表示为N(ζ)=2π∫ 2π 0dθ 1+ ε γb(γ2b -1)ζddθ sinθ+ S γb(γ2b -1)∫ ζ 0dζ′θ F(ζ′，θ)- 1 γ2 ∫b ζ 0dy∫ y0dx2θ ( ) 2F(x，θ) -{ ｝1 -1(11)将f(θ)=sinθ代入式(9)，可得N(ζ)F(ζ，θ)= 1+ ε γb(γ2b -1)ζcosθ+ S γb(γ2b -1)∫ ζ 0dζ′θ F(ζ′，θ)- 1 γ2 ∫b ζ 0dy∫ y0dx2θ ( ) 2F(x，θ) (12)　　归一化的动能 K 可表示为K = γ-1 γb -1=1- ε γb -1f(θ)- S γb -1F(ζ，θ)-1- 1 γ2 ∫b ζ 0dζ′ F [ ] ( ) θ ζ′ (13)　　为了研究调制电流非线性的模式演化，输入腔后归一化调制电流的傅里叶分解为F(ζ，θ)=1+ ∑ ∞ n=1[αncos(nθ)+βnsin(nθ)] (14)其中系数定义为 αn = 1 π∫ 2π 0F(ζ，θ)cos(nθ)dθ (15) βn = 1 π∫ 2π 0F(ζ，θ)sin(nθ)dθ (16)n次谐波电流调制系数Cn 定义为Cn = (α2n +β 2n)1/2 (17)　　由于F(ζ，θ)关于θ=π的对称性，实际上βn 的绝对值远小于αn。

　　3 输入腔调制的粒子模拟与非线性理论的比较

　　X波段多注速调管输入腔采用同轴谐振腔。图2中：d是输入腔间隙距离，Pin是注入微波功率，ra 和rb 分别为多注电子束的内半径和外半径;ri 和rw 分别为多注漂移管的内半径和外半径;r珔=(ri+rw)/2，为电子束平均半径。间隙耦合系数表示电子所受到的加速电压振幅Ve 与加在间隙上的实际电压振幅Vgap之比，任意间隙的耦合系数表达式为M = VeVgap= ΔTeVgap= ∫ ∞ -∞ f(z，r)ejβezdz ∫ ∞ -∞ f(z)dz= 1d∫ ∞ -∞ f(z，r)ejβezdz (18)

　　式中：ΔT 为穿过间隙电子的动能增量;f(z，r)为间隙电场分布函数;βe =ω/v0，为纵向传播常数;v0 为电子直流速度。经过计算，假定f(z，rw)=f(z，ri)=f(z，r珔)=1(f(z，r珔)是r珔处间隙电场分布函数)，可以得到[1]M(r珔)= 1dI0(τr珔)a1 +K0(τr珔)a2a3 ∫ ∞ -∞ f(z，r珔)ejβezdz (19)

　　式中：I0，K0 为虚宗量贝塞尔函数;τ= β 2槡e -k2 ，为横向波数;k=ω/c，为波数。令M(r珔)=Mr(r珔)Mz(r珔)，则有Mz(r珔)= 1d∫ ∞ -∞ f(z，r珔)ejβezdz=sin(θd/2)(θd/2) (20)Mr(r珔)=I0(τr珔)a1 +K0(τr珔)a2a3(21)

　　式中：θd =ωd/v0;a1 = K0(τrw)-K0(τri);a2 =I0(τri)-I0(τrw)，a3 =I0(τri)K0(τrw)-I0(τrw)K0(τri)。为了检验非线性理 论 的 实 用 性，采用三维粒子模拟程序对输入腔的束流调制进行了计算。束 压 为600kV，束流为5kA。令t=a/Rc，多注电子束中每个实心束t=8/15。将输入腔的几何尺寸代入 M(r珔)=Mr(r珔)Mz(r珔)，得到间隙耦合系数 M=0.8725。当中间隙电压分别为4.6，32.7，189kV 时，对应的ε值分别为0.0078，0.0560，0.3220。根据定义可以计算出γb=2.1742，ν=0.0206，S=0.0362，z=0.45ζ，其基波电流调制系数C1 与距离z的关系如图3所示。从图中可以看出：对于输入腔后的基波电流调制系数c1 ，当间隙电压为4.6kV 时，z在20cm 以内处于线性区，理论值与模拟值比较一致;随着输入电压的增大，非线性效应增强，理论值与模拟值之间的差距增大;当间隙电压为189kV 时，对于基波电流调制系数最大值对应的z值和最大基波电流调制系数，理论值与模拟值有一些差别。

　　对于γb=2.1742，ν=0.0206，s=0.0362，ε=0.0078，应用一维非线性理论对基波的电流调制系数与多注电子束的个数和每一注实心电子束的半径之间的关系分别作了计算。图4是多注电子束的个数8，12，16时基波电流调制系数C1 随传输距离z的变化图。可以看出，随着多注电子束的个数的增加，C1 有逐渐变大的趋势。图5是实心电子束的t=6/15，8/15，10/15(Rc 不变)时，基波电流调制系数 C1 随传输距离z的变化图。从图中可以看出，随着t的增加，C1 有逐渐变大的趋势。

　　对于γb=2.1742，ν=0.0206，s=0.0362，ε=0.034，z为20cm 时，利用式(11)，(12)，(13)计算出了一个典型的能量和电流调制的例子。图6得到归一化电流F(z，θ)和归一化的动能 K=(γ-1)/(γb-1)与θ的关系。正如预期的一样，在这些参数条件下最大的电流和最小的电流分别出现在θ=(2k-1)π和θ=2kπ，其中k=1，2，…，是整数。动能的时间图明显是从典型的正弦波形变形而来的。由此说明，非线性理论可以计算任意位置的调制电流和归一化动能。

　　图7得到归一化因子 N(z)与距离z之间的关系。图8是n=1，2，4次谐波的电流调制系数Cn 随传输距离z 的变化图。从图中可以看出，基波的电流调制系数在开始时线性增加，在z为22cm 处达到饱和，然后随着传输距离的增加慢慢地下降。一次和二次谐波的电流调制系数较大，4次以上谐波幅度较小从而可以忽略。

　　4 结 论

　　本文通过理论与模拟的比较可以得出：一维非线性理论与三维粒子模拟趋势比较一致，在线性区和非线性区都符合较好;随着多注电子束的个数和电子束半径的增加，基波电流调制系数有逐渐变大的趋势。一维非线性理论可以研究束压、束流、多注电子束的个数、实心电子束的半径a、通道半径Rc、多注电子束的内半径ra、多注电子束的外半径rb、多注漂移管的内半径ri、多注漂移管的外半径rw，谐振腔的间隙宽度d、间隙耦合系数 M等参量与束流调制的关系。一维非线性理论可以作为多注相对论速调管放大器的设计时的重要依据。

　　参考文献：

　　[1] 刘振帮，黄华，金晓，等.X波段三重轴相对论速调管放大器的设计[J].物理学报，2012，60：128402.(LiuZhenbang，HuangHua，JinXiao，etal.DesignofX-bandtri-axialrelativisticklystronamplifier.ActaPhysicaSinica，2012，60：128402)

　　[2] LiuZhenbang，HuangHua，JinXiao，etal.HighpoweroperationofanX-bandcoaxialmulti-beamrelativisticklystronamplifier[J].Phys-icsofPlasmas，2013，20：113101.

　　[3] LiuZhenbang，HuangHua，JinXiao，etal.DesignofanX-bandgigawattmulti-beamrelativisticklystronamplifier[J].IEEETransPlasmaSci，2014，42(10)：3419-3421.

　　[4] LiuZhenbang，HuangHua，LeiLurong，etal.InvestigationofanX-bandgigawattlongpulsemulti-beamrelativisticklystronamplifier[J].PhysicsofPlasmas，2015，22：093105.

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