摘要 不定积分的计算是一元函数积分学里的核心问题.不定积分的计算是非常灵活的，除了可以根据基本积分表中的公式求解外，利用微分和不定积分之间的互逆关系，根据复合函数的求导运
不定积分的计算是一元函数积分学里的核心问题.不定积分的计算是非常灵活的，除了可以根据基本积分表中的公式求解外，利用微分和不定积分之间的互逆关系，根据复合函数的求导运算法则和乘积函数的求导运算法则还建立了求不定积分的 2 类重要的方法，即换元积分法和分部积分法.同时在微分学中的求导法则中，还有关于反函数的求导法则.
反函数的求导法则 设 x = f y( ) 在区间 y I 内单调、可导且 f y ′() 0 ≠ ，则它的反函数 1 yfx( ) − = 在对应区间上也可导，且 ( ) 1 f () 1 () x fy − ′ = ′ .
基于不定积分与微分的关系，一个自然的问题是：反函数与原函数的不定积分之间是否也存在某种内在的规律.
1 反函数的不定积分公式 为了探索反函数与原函数的不定积分之间的规律，可以借助三角函数与反三角函数互为反函数的关系进行研究. 令 y x = arcsin 是函数 x = sin y 在对应区间上的反函数，则 sin d cos cos(arcsin ) 1 yy y C x C x C =− + =− + =− − + (1) 同理，按照分部积分法，可得 2 2 arcsin d arcsin darcsin arcsin 1 d arcsin 1 x x x x x x x x x xx x x x C = − = − − = +−+ (2)由式(1)和式(2)，不难得到 arcsin d arcsin sin d x x x x yy = − (3)式(3)中反应出的规律是否具有一般性，不妨大胆猜测，小心求证，假设式(3)具有一般性，则可形成如下结论：结论 设 x = f y( ) 的反函数为 1 yfx( ) − = ，记 Fy f y y ( ) ( )d = ，则 1 1 11 f ( )d ( ) ( )d ( ) ( ( )) x x xf x f y y xf x F f x − − −− =− =− (4) 证明 由于 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 1 1 1 f () () () () () () () () x xf x f f x f x f x xf x xf x f x − − −− − − − − ′ ′ ′′ + − =+ − = ，因此式(4)成立. 证毕
利用式(4)，可以直接得到一些反函数的积分. 例 1 取 x = tan y ，其反函数为 y x = arctan . Fy yy y C ( ) tan d ln cos = =− + ，经计算可得 2 Fx x (arctan ) 0.5ln(1 ) = ++ C ，则 2 arctan d arctan 0.5ln(1 ) x xx x x C = − ++ . 例 2 ey x = 是 y x = ln 的反函数，且 ( ) ed e y y Fy y C = =+ ， ln ln d ln (ln ) ln e ln x x x x xF x x x C x xxC = − = − + = −+ .
2 高等数学中特殊化思想从一个特殊的反函数不定积分的计算，探讨了互为反函数的2个函数不定积分之间的内在联系，得出了一般性结论，利用该结论计算了一些反函数的不定积分.概括地讲，即对于某个一般性的数学问题，如果一时难以直接解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来解决问题的思想就称之为特殊化思想.
在高等数学的教学中，如能结合相关内容，适时介绍和渗透这种思想，则对于开阔学生视野，提升学生的数学素养都是大有裨益的. 典型案例 1 利用牛顿-莱布尼兹公式解决定积分的计算问题.在探索定积分的简单算法时，从研究物理上求变速直线运动物体在有限时间内通过的路程这一特殊问题入手，将从这一特殊的问题中得出的结论作一般的、普遍性的推广，进而得出了牛顿-莱布尼兹公式这一解决定积分计算的普适性方法，体现了特殊化思想. 典型案例 2 微分中值定理的教学.为了研究函数整体形态与局部概念——导数之间的关系，在高等数学教材中往往是通过数形结合先介绍最简单、直观的罗尔中值定理，然后通过改变条件，把罗尔定理推广成具有更一般形式的拉格朗日中值定理及柯西中值定理，也体现了从特殊到一般的推广和拓展.
在高等数学的学习中，除了特殊化思想外，还有极限思想、数形结合思想、转化思想、类比思想、归纳推理思想等.教师在教学过程中，应以知识为载体，要有意识地挖掘、传授隐藏在知识背后的思想方法.使学生在掌握数学知识的同时，进一步提高他们的数学素养.
《从不定积分的计算谈数学思想方法的教学》来源：《高师理科学刊 》，作者：邢巧芳，孙铭娟 。
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